リトライ

閉区間がコンパクトであることの証明

背理法
無限個では閉区間[a,b]を覆えるが
どんな有限個の開区間を選び出しても
[a,b]を覆うことを出来ない
無限個の開区間(a[i],b[i]) (i=1,...,∞)が存在したとする

適当に添え数を取り直すことによって
a[n+1] ＜ b[n], b[n] ＜ b[n+1] を仮定してもよい
(a[n],b[n])に対して上記を満たす(a[n+1],b[n+1])は必ず存在する

更に
a[1]＜a＜b[1]も仮定する

このとき、
[a,b]がどのように被覆されていくのかが
b[1],b[2],b[3],...を見ていくことによってわかる
この収束値をβとする
しかしβを含む開区間 (a',b')も当然存在するわけでこれは
……なにに反するんだ？
何かに反することにしよう
a[i],b[i]の選び方に更にもう一つの縛りを入れればいいのか
つまり
b[n+1] は a[n+1]＜b[n]＜b[n+1]を満たす最大のものになるように選ぶ
最初にこれを仮定しておけばよさげ
ああもうよくわからん
寝る