あー

現実逃避に
唐突に考えていたこと
閉区間がコンパクトであることの証明

定義
開区間(a,b) : aより大きくbより小さい実数の集合
閉区間[a,b] : a以上b以下の実数の集合
A＼B : 差集合。集合Aから集合Bの要素を取り除いた集合

定理(閉区間がコンパクトであることの証明)
閉区間[a,b]が無限個の開区間(a[i],b[i]) (i=1,2,3,...,∞)の和集合に含まれる時
実は、この閉区間[a,b]を覆うのは有限個の開区間で足りる
即ち、ある自然数n1,..,npが存在して
[a,b]⊆(a[n1],b[n1])∪(a[n2],b[n2])∪…∪(a[np],b[np])

証明
点a,bそれぞれを覆っている開区間を
仮定の複数の開区間から選び出し、これをs1,t1とする
開集合(a,b)からs1,t1を取り除いたものを新たに(a',b')とする
即ち
(a',b')=(a,b)＼(s1∪t1)
このとき、a＜a',b'＜b となっていて、より小さな開区間が得られる
この操作を繰り返していくと
得られる開集合は、ある一点の周りに収束……しねえ！